Exercise 0 - Monade de listes

Problème 0: En utilisant la monade ListMonad, écrivez une fonction qui triple tous les éléments d'une liste. Par exemple :
```
# [1;2;3;4] >>= triple;;
- : int list = [1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4]
```
Problème 1 : En utilisant la monade ListMonadPlus, implementez une fonction even_nums dont l'entrée est un entier n (supposé positif) et dont le résultat est une liste qui contient toutes les paires de nombres a pour lesquelles 0 < a <= n est valable et a est pair. Par exemple :
```
# even_nums 10;;
- : int list = [0; 2; 4; 6; 8]
```

Hint

Utilisez la fonction guard !

Problème 2 : Implementez une fonction sum_is_odd qui prend en entrée un entier n (supposé positif) et renvoie une liste de paires (a,b) telles que 0 < a <= n, 0 < b <= n et a+b est impair. Par exemple :
```
# sum_is_odd 4;;
- : (int * int) list =
[(0, 1); (0, 3); (1, 0); (1, 2); (2, 1); (2, 3); (3, 0); (3, 2)
```

Hint

Comme ci-dessus !

Problème 3 : Implementez une fonction pythagorean_triplets qui prend en entrée un entier n (supposé positif) et renvoie un triplet de paires (a,b,c) telles que 0 < a <= n, 0 < b <= n, 0 < c <= n et a^2+b^2=c^2. Par exemple:
```
# pythagorean_triplets 10;;
- : (int * int * int) list = [(3, 4, 5); (4, 3, 5); (6, 8, 10); (8, 6, 10)]
```
Problème 3 : En utilisant la monade ListMonadPlus, implementez une fonction palindromes qui prend en entrée un entier n (supposé être positif) et renvoie une liste de toutes les chaînes palindromes composées des caractères '0', '1' de taille inférieure ou égale à n. Par exemple:
```
# check_1 5;;
- : string list =
["00000"; "00100"; "01010"; "01110"; "10001"; "10101"; "11011"; "11111"]
# check_1 6;;
- : string list =
["000000"; "001100"; "010010"; "011110"; "100001"; "101101"; "110011";
 "111111"]
```

Exercise 1: Parsing with the MaybeMonadPlus

Problème 0: En utilisant la monade MaybeMonadPlus, implementez une fonction parse_char qui prend en entrée un caractère c et une chaîne s, et si s commence par c, renvoie une valeur monadique contenant le reste de la chaîne s (avec le premier caractère supprimé), sinon elle renvoie une valeur monadique signifiant un échec. Par exemple :
```
# parse_char '0' "0101";;
- : string option = Some "101"
# parse_char '0' "1010";;
- : string option = None
```
Problème 1: Utilisez la fonction ci-dessus pour implémenter une fonction expr qui analyse les expressions de la grammaire suivante :
```
expr := term 
term := factor | factor op expr 
op := '+' | '-'
factor := digit | '(' expr ')'
digit := '0' | '1' 
```
Plus précisément, si une chaîne donnée s est conforme à la grammaire ci-dessus, alors expr s doit résulter en Some "", c'est-à-dire qu'il doit consommer tous les caractères de la chaîne. Si ce n'est pas le cas, elle consomme partiellement la chaîne et renvoie Some p où p est une chaîne non vide de caractères, ou bien elle renvoie None .

Par exemple :

# expr "0";;
- : string option = Some ""
utop # expr "1+0";;
- : string option = Some ""
# expr "(1+0)-1";;
- : string option = Some ""
# expr "(1+1)-1+(1+(1+0-1+0))";;
- : string option = Some ""
# expr "2";;
- : string option = None
utop # expr "1+2";;
- : string option = Some "+2"